다익스트라 최단 경로 알고리즘 ②

우선순위 큐(Priority Queue)

• 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조이다.
• 예를 들어 여러 개의 물건 데이터를 자료구조에 넣었다가 가치가 높은 물건 데이터부터 꺼내서 확인해야하는 경우에 우선순위 큐를 이용할 수 있다.
• Python, C++, Java를 포함한 대부분의 프로그래밍 언어에서 표준 라이브러리 형태로 지원한다.

• 자료구조	추출되는 데이터
  스택(Stack)	가장 나중에 삽입된 데이터
  큐(Queue)	가장 먼저 삽입된 데이터
  우선순위 큐(Priority Queue)	가장 우선순위가 높은 데이터

 

힙(Heap)

• 우선순위 큐(Priority Queue)를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나이다.
• 최소 힙(Min Heap)과 최대 힙(Max Heap)이 있다.
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘을 포함해 다양한 알고리즘에서 사용된다.

• 우선순위 큐 구현 방식	삽입 시간	삭제 시간
  리스트	O(1)	O(N)
  힙(Heap)	O(logN)	O(logN)

 

힙 라이브러리 사용 예제: 최소 힙

import heapq

# 오름차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable):
	h = []
	result = []
	# 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
	for value in iterable:
		heapq.heappush(h, value)
	# 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
	for i in range(len(h)):
		result.append(heapq.heappop(h))
	return result

result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result)

실행 결과 ⇒ [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

 

힙 라이브러리 사용 예제: 최대 힙

import heapq

# 내림차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable):
	h = []
	result = []
	# 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
	for value in iterable:
		heapq.heappush(h, -value)
	# 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
	for i in range(len(h)):
		result.append(-heapq.heappop(h))
	return result
    
result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result)

실행 결과  ⇒ [9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0]

 

다익스트라 알고리즘: 개선된 구현 방법

• 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙(Heap) 자료구조를 이용한다.
• 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일하다.
  • 현재 가장 가까운 노드를 저장해 놓기 위해 힙 자료구조를 추가적으로 이용한다는 점이 다르다.
  • 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로 최소 힙을 사용한다.

다익스트라 알고리즘: 개선된 구현 방법(Python) ⇢ 별도의 visited 함수를 사용하지 않아도 된다.

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
	a, b, c = (int, input().split())
	# a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
	graph[a].append((b, c))
    
def dijkstra(start):
	q = []
	# 시작 노드로 가기 위한 최단 거리는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
	heapq.heappush(q, (0, start))
	distance[start] = 0
	while q: # 큐가 비어있지 않다면
		# 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
		dist, now = heapq.heappop(q)
		# 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
		if distance[now] < dist:
			continue
		# 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
		for i in graph[now]:
			cost = dist + i[1]
			# 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
			if cost < distance[i[0]]:
				distance[i[0]] = cost
				heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
                
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in rage(1, n + 1):
	# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)라고 출력
	if distance[i] == INF:
		print('INFINITY')
	# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
	else:
		print(distance[i])

 

다익스트라 알고리즘: 개선된 구현 방법 성능 분석

• 힙 자료구조를 이용하는 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 O(ElogV)이다.
• 노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문(while문)은 노드의 개수 V 이상의 횟수로는 처리되지 않는다.
  • 결과적으로 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총횟수는 최대 간선의 개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있다.
• 직관적으로 전체 과정을 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사하다.
  • 시간 복잡도를 O(ElogE)로 판단할 수 있다.
  • 중복 간선을 포함하지 않는 경우에 이를 O(ElogV)로 정리할 수 있다.
    • O(ElogE) → O(ElogV^2) → O(2ElogV) → O(ElogV)

출처: 동빈나의 이코테